Question

已知函数，的最大值为．

求实数b的值；

当时，讨论函数的单调性；

当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在.

【解析】

(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时， 取得极大值，也是最大值，

由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.

(1) 由题意得，

令，解得，

当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减.

所以当时， 取得极大值，也是最大值，

所以，解得.

（2）的定义域为.

①即,则，故在单调增

②若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调递减，在单调递增．

③若,即,同理在单调递减，在单调递增

（3）由（1）知，

所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，

所以恒成立，

所以函数在区间内单调递增.

假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，

则，

问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根， 即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，

令， ，则，

设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，

故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.

综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.