Question

某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形的圆心角为，半径为80米，点在上，于，于．现要在和区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为．设，．

（1）用分别表示和的面积；

（2）当为何值时，该农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？

Answer

（1）和的面积分别为平方米，平方米；（2）当时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大．

【解析】

（1）在，利用正余弦分别求解出，进而得到面积；同理可得面积；

（2）假设两种蔬菜每平方米年产值为与，与面积分别作乘积后作和，得到年总产值关于的函数解析式，根据正弦型函数最值求解方法可求得取最大值时的取值.

（1）在中，，

的面积为

同理的面积为

（2）设农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值为，甲，乙两种蔬菜每平方米年产值分别为，

则

当，即时，取得最大值