Question

如图，在平面直角坐标系中，已知，角的终边与单位圈交于点．

（1）当时，设，求的最小值；

（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）存在，，

【解析】

（1）分别求得，，；将根据向量数量积运算法则化为二次函数的形式，进而根据二次函数最值求得结果；

（2）假设存在满足题意，根据向量坐标运算可得，由其为定值可知对任意恒成立，由此可得方程组求得，代入后化简可求得结果.

（1），角的终边与单位圆交于点，

，

当时，

（2）假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值

设

角的终边与单位圆交于点

则，

为定值

设 对任意角恒成立

，消去得：

（舍）或，此时，即

在轴上存在异于点的定点，使得为定值