Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．

（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；

（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer

（1）（2）m＝3

【解析】

(1)将圆的方程配方，

得2＋(y－3)2＝，

故有＞0，解得m＜.

将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得

消去y，得x2＋2＋x－6×＋m＝0，

整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0， ①

∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)＜0，解得m＞8.∴m的取值范围是.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由OP⊥OQ，得＝0，即x1x2＋y1y2＝0， ②

由①及根与系数的关系，得

x1＋x2＝－2，x1·x2＝， ③

又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，

∴y1·y2＝·＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，

将③代入上式，得y1·y2＝， ④

将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝＋＝0，解得m＝3.

代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m＝3.