Question

设函数，，其中、.若恒成立，则当取得最小值时，的值为______.

Answer

【解析】

构造函数，可知该函数关于点对称，然后分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，得出函数在区间上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当取得最小值时的值.

构造函数，则，

由于，

所以，函数的图象关于点对称，且.

①当时，，函数在区间上单调递增，

则，

所以，

此时，当，时，取最小值；

②当时，对任意的，，函数在区间上单调递减，

则，

所以，

此时，当，时，取最小值；

③当时，令，得，令，列表如下：

极大值

极小值

不妨设，则，则，

，

，且，，

，若，则，

若，则，但，

，

所以，.

当时，，

当且仅当，时，即当，时，取得最小值;

当时，.

综上所述，当，时，取得最小值，此时.

故答案为：.