Question

如图，在圆锥中，底面半径为，母线长为.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为，半径为，现要以截面为底面，圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记圆锥体积为.

（1）将表示成的函数；

（2）求的最大值.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

（1）求出，利用，求出，可得出，然后利用圆锥的体积公式可得出关于的函数表达式，结合实际情况求出该函数的定义域；

（2）对函数求导，求出该函数的极大值，利用极值与最值的关系可得出的最大值.

（1）在中，，

由可知，，所以，

所以，所以，；

（2）由（1）得，，

所以，令，得，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

所以当时，取得最大值.

答：小圆锥的体积的最大值为.