Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，过点作直线与圆相切，与椭圆交于另一点，与右准线交于点.设直线的斜率为.

（1）用表示椭圆的离心率；

（2）若，求椭圆的离心率.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可得出直线的方程为，利用该直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径可得出，由此可计算出关于的关系式；

（2）设椭圆的焦距为，将直线的方程与椭圆的右准线方程联立，可求出点的坐标，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求出点的坐标，再由，结合（1）中的结论，可得出关于、的齐次等式，从而求出椭圆的离心率.

（1）直线的方程为，即，

因为直线与圆相切，所以，故.

所以椭圆的离心率；

（2）设椭圆的焦距为，则右准线方程为，

由得，所以，

由得，

解得，则，

所以，

因为，所以，

即，

由（1）知，，所以，

所以，即，所以，故椭圆的离心率为.