Question

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；

（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，最大值为.

【解析】

（1）求出函数的导数，由题意得出从而可求出实数的值；

（2）令，可得知函数在上有两个零点，分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性和极值，由题意转化为函数极值相关的不等式，解出即可得出实数的取值范围；

（3）将代入函数的解析式得出，对该函数求导得出，构造函数，利用单调性结合零点存在定理找出函数的极小值点，并满足，结合此关系式计算得出，从而可得出整数的最大值.

（1），

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，得；

（2）因为存在两个不相等的零点.

所以存在两个不相等的零点，则.

①当时，，所以单调递增，至多有一个零点

②当时，因为当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以时，.

因为存在两个零点，所以，解得.

因为，所以.

因为，所以在上存在一个零点.

因为，所以.

因为，设，则，

因为，所以单调递减，

所以，所以，

所以在上存在一个零点.

综上可知，实数的取值范围为；

（3）当时，，，

设，则.所以单调递增，

且，，所以存在使得，

因为当时，，即，所以单调递减；

当时，，即，所以单调递增，

所以时，取得极小值，也是最小值，

此时，

因为，所以，

因为，且为整数，所以，即的最大值为.