Question

已知数列的首项，对任意的，都有，数列是公比不为的等比数列.

（1）求实数的值；

（2）设数列的前项和为，求所有正整数的值，使得恰好为数列中的项.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据递推公式求出、，由题意得出，求出的值，结合数列公比不为的等比数列进行检验，进而得出实数的值；

（2）求出利用奇偶分组法求出、，设，可得知，从而可知、或为偶数，由结合可推出不成立，然后分和为偶数两种情况讨论，结合的取值范围可求出符合条件的正整数的值.

（1）由，可知，，，

因为为等比数列，所以，

即，即，解得或，

当时，，所以，则，

所以数列的公比为1，不符合题意；

当时，，所以数列的公比，

所以实数的值为.

（2）由（1）知，所以

则

，

则，

因为，又，

且，，所以，则，设，

则或为偶数，因为不可能，所以或为偶数，

①当时，，化简得，

即，所以可取值为1，2，3，

验证，，得，当时，成立.

②当为偶数时，，

设，则，

由①知，当时，；

当时，，所以，所以的最小值为，

所以，令，则，

即，无整数解.

综上，正整数的值为.