Question

如图，在三棱柱中，侧面为正方形，侧面为菱形，，平面平面.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）证明出平面，然后以点为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值；

（2）计算出平面的一个法向量，以及平面的一个法向量，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值.

（1）因为四边形为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

以点为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设正方形的边长为，则，.

在菱形中，因为，所以，所以.

因为平面的法向量为，

设直线与平面所成角为，则，，

即直线与平面所成角的正弦值为；

（2）由（1）可知，，所以.

设平面的一个法向量为，

因为即

取，，，即.

设平面的一个法向量为，因为，，

因为，所以，取.

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为.