Question

已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若不等式对任意恒成立，求a的取值范围.

Answer

（1）当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；（2）

【解析】

（1）求出导函数，分类讨论分子二次函数的根的情况即可得解；

（2）结合（1）得出最大值，构造函数，结合单调性求解.

（1）

，

考虑，

当时，，在单调递增，

当时，记的两根，

结合可得：两根属于，

时，，

时，，

的增区间为，减区间为，

当时，开口向下，结合可得：

时，，

时，，

的增区间为，减区间为，

综上所述：当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；

（2）当时，当时，，

所以，

不满足对任意恒成立，

当时，结合（1），的增区间为，减区间为，

开口向下，结合可得：

是方程的根，所以，

所以，

由题

令，

，

易得时，，所以在单调递增，且

，即，

所以，

，

所以.