Question

如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题（1）取线段的中点，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形为平行四边形，即得．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得．再根据面面垂直性质定理得平面，即得，根据勾股定理得，所以由线面垂直判定定理得 平面，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段上存在点，使得平面，则，与条件矛盾.

试题解析：

【解析】
（1）取线段的中点，连接，．

因为在△中，，分别为，的中点，所以 ，．

因为 ，分别为，的中点，所以 ，，

所以 ，，所以 四边形为平行四边形，所以 ．

因为 平面， 平面，所以 平面．

（2）因为在△中，，分别为，的中点，所以 ．

所以，又为的中点，

所以 ．

因为平面平面，且平面，

所以 平面，所以 ．

在△中，，易知 ，

所以 ，所以 平面，

所以 平面平面．

（3）线段上不存在点，使得平面．

否则，假设线段上存在点，使得平面，

连接 ，，则必有 ，且．

在△中，由为的中点，，得为的中点．

在△中，因为，所以，

这显然与，矛盾！

所以线段上不存在点，使得平面．