Question

已知函数.

（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;

（ii）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若,求证:.

Answer

（Ⅰ）（i），（ii）递增区间是,递减区间是；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题（Ⅰ）（i）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（ii）分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明,则，再利用二次函数的性质证明，则，从而可得结论.

试题解析：（Ⅰ）当时,,定义域为

（i）

所以切点坐标为,切线斜率为

所以切线方程为

（ii）令,

所以在上单调递减,且

所以当时,即

所以当时,即

综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是.

(Ⅱ)方法一:

,即

设

设

所以在小于零恒成立

即在上单调递减

因为

所以,

所以在上必存在一个使得

即

所以当时,,单调递增

当时,,单调递减

所以

因为

所以

令得

因为,所以,

因为,所以恒成立

即恒成立

综上所述,当时,

方法二:

定义域

为了证明,即

只需证明,即

令

则

令,得

令,得

所以在上单调递增,在上单调递减

所以

即,则

令

因为,所以

所以恒成立

即

所以

综上所述,

即当时,.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.