Question

已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，.对于函数，若存在且，使得，则称函数是“和谐”函数.

（1）判断函数，是否是“和谐”函数；（只需写出结论）

（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为，若不是“和谐”函数，求的最小值.

（3）若函数是“和谐”函数，求的取值范围.

Answer

（1）是“和谐”函数，不是“和谐”函数.（2）最小值为1.（3）且，且

【解析】

（1）根据“和谐”函数的定义即可判断，是否是“和谐”函数.

（2）根据周期函数的定义，结合“和谐”函数的条件，进行判断和证明即可.

（3）根据“和谐”函数的定义，分别讨论，和时，满足的条件即可.

（1）由题知：是“和谐”函数，

不是“和谐”函数.

（2）的最小值为.

因为是以为最小正周期的周期函数，所以.

假设，则，所以，矛盾.

所以必有，

而函数的周期为1，且显然不是“和谐”函数，

综上，的最小值为1.

（3）当函数是“和谐”函数时，

若，则显然不是“和谐”函数，矛盾.

若，则，

所以在，上单调递增，

此时不存在，使得，

同理不存在，使得，

又注意到，即不会出现的情形，

所以此时不是“和谐”函数.

当时，设，

所以，所以有，其中，

当时，

因为，所以，

所以.

当时，，

因为，所以，

所以.

记，综上，我们可以得到“且，且”.