Question

已知函数,且的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点.

（1）求的表达式和的单调增区间；

（2）若函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围.

Answer

（1），单调增区间

（2）或

【解析】

（1）根据已知条件代入，求解相关参数，确定函数表达式，再根据三角函数单调区间求法解答；

（2）由（1）写出函数解析式，零点问题转化成函数的图像和直线的交点问题，即可求解参数取值范围.

（1）由题意，得的最小正周期，则，

的图像过点，，

即

令，解得

故的单调增区间为

（2）由（1）知，

若函数在区间上有且只有一个零点.

则函数的图像和直线有且只有一个交点.

即曲线与直线有且只有一个交点.

由图可知，或，

即实数的取值范围为或