Question

设定义在实数集上的函数,恒不为0,若存在不等于1的正常数,对于任意实数,等式恒成立,则称函数为函数.

（1）若函数为函数,求出的值；

（2）设,其中为自然对数的底数,函数.

①比较与的大小；

②判断函数是否为函数,若是,请证明；若不是,试说明理由.

Answer

（1）或；（2）①②是函数，证明见解析.

【解析】

（1）根据题意，列出方程，即可求解参数值.

（2）①根据函数单调性定义，比较与的大小关系，进而比较与的大小

②根据题意，列出方程，证明方程有解，令，判断在上存在零点，即可证明是函数.

（1）因为函数为函数.

所以对任意实数都成立，即，即，

所以或

（2）①因为，所以，即

又因为在R上为增函数，所以

②若是函数.则存在不等于1的正常数，

使等式对一切实数恒成立，即关于的方程有解，

令，则函数在上的图像是一条不间断的曲线，

据零点存在性定理，可知关于的方程在上有解，

从而是函数.