Question

已知函数为偶函数，．

（1）求实数的值；

（2）若时，函数的图像恒在图像的下方，求实数的取值范围；

（3）当时，求函数在上的最小值．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）利用函数是偶函数，建立方程进行求解即可（2）将不等式转化为恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）利用换元法结合指数的性质，转化为一元二次函数，结合函数单调区间和对称轴的关系进行求解即可．

（1） 函数为偶函数，

，

，

得，

解得，即.

（2）若时，函数的图像恒在图像的下方，

则恒成立，

即，

即，

化简得，

即恒成立，

在上单调递减，

当时，函数取得最大值，

，

（3）当时，

函数 ，

设，

，

，

则设，

函数的对称轴为，

，

，

若，即时，则函数在上的最小值，

若，即时，则函数在上的最小值，

综上函数在上的最小值.