Question

等比数列满足：，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式成立的正整数恰有4个，求正整数的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）利用等比数列的通项公式计算即可；

（2）结合条件对n进行分类讨论，当时利用分离常数法化简得，利用取特值和做商法判断出的单调性，再判断出的单调性，根据条件即可求出正整数p的值．

（1）已知等比数列满足：，设公比为，且，，成等差数列，

∴，得，解得，或（舍）.

所以，即；

（2）由（1）得，，

∵，∴当n＝1、2时，上式一定成立；

当时，化简＝，

当n＝3时，＝＝，

当n＝4时，＝＝4.8，

当n＝5时，＝，

当n＝6时，，…

设bn＝，则＝＝＝2（1﹣），

当n≥4时，2（1﹣）≥，则＞1，

∴当n≥4时，bn随着n的增大而增大，则随着n的增大而减小，

∵不等式成立的正整数恰有4个，即n＝1、2、4、5，

∴正整数的值为3．