Question

水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.

（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？

（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.

Answer

（1）4天；（2）

【解析】

（1）营养液有效则需满足y≥4，由分段函数，对x讨论，解不等式即可得到结论；

（2）通过化简、利用基本不等式可知在[4，7]上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式，即可得到b的最小值．

（1）已知，当时，

要使营养液有效，则需满足y≥4，则或，

即为1≤x≤2或2＜x≤5，解得1≤x≤5，所以营养液有效时间可达4天；

（2）当4≤x≤7时，y＝14﹣2x+b•在[4，7]上恒成立，

∴在[4，7]上恒成立，令，则b≥﹣2（t+）+20，

又﹣2（t+）+20≤﹣2•+20＝20﹣，

当且仅当t＝，当t＝时，即时，取等号；

∵，∴，b的最小值为．

所以，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为．