Question

已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的解析式；

（2）试判断的单调性，并用定义法证明；

（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）在上单调递增,证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据题意，得到，求出，即可得出结果；

（2）根据题意得到，任取，且，作差法比较，，根据函数单调性的概念，即可得出结果；

（3）先由函数奇偶性与单调性得到存在，使得成立，推出存在，使得成立；令，求出其最小值，即可得出结果.

（1）由题意可得，解得，

故；

（2），可得在上单调递增，

任取，且，，

∵∴即，

又，，∴即，

故在上单调递增．

（3），

因为是奇函数，所以，

由（2）可知在上单调递增，

所以存在，使得成立，

即存在，使得成立；

令，，

易得其在上单调递增；

所以；

故，

所以k的取值范围为．