Question

函数，关于的不等式的解集为.

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）设.

（i）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（ii）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围（为自然对数的底数）.

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）（i）（ii）

【解析】

（Ⅰ）根据三个“二次”的关系可知，的两根为-1和3，再根据韦达定理即可求出；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）中求出的解析式可将不等式化简成，，换元，，即只需求在上的最小值，即可求出实数的取值范围；

（ii）换元，令，则函数有三个不同的零点，等价于在有两个零点，再根据函数与方程思想，以及二次函数的有关性质即可求出．

（Ⅰ）因为的解集为，

即方程的两根为-1和3，

由韦达定理可知，解得.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可得：，

所以不等式在上恒成立，

等价于在上恒成立，

令，因为，所以，

则有在恒成立，

令，，则，

所以，即，所以实数的取值范围为.

（ii）因为，

令，由题意可知，

令，，

则函数有三个不同的零点，

等价于在有两个零点，

当时，方程，此时，解得或，关于的方程有三个零点，符合题意；

当时，记两个零点为，，且，，，

所以，

综上实数的取值范围是.