Question

已知函数,则下列判断正确的是（    ）

A.为奇函数

B.对任意,,则有

C.对任意,则有

D.若函数有两个不同的零点,则实数m的取值范围是

Answer

CD

【解析】

根据函数的奇偶性以及单调性判断AB选项；对进行分类讨论，判断C选项；对选项D，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m的取值范围.

对于A选项，当时，，则

所以函数不是奇函数，故A错误；

对于B选项，的对称轴为，的对称轴为

所以函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，并且

所以在上单调递增

即对任意，都有

则，故B错误；

对于C选项，当时，，则

则

当时，，则

当时，，则

则

即对任意,则有，故C正确；

对于D选项，当时，，则不是该函数的零点

当时，

令函数，函数

由题意可知函数与函数的图象有两个不同的交点

因为时，，时，

所以

当时，设，

因为，所以，即

设，，即

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

同理可证，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

函数图象如下图所示

由图可知，要使得函数与函数的图象有两个不同的交点

则实数m的取值范围是，故D正确；

故选：CD