Question

已知函数是偶函数,是奇函数,且.

（1）求的解析式;

（2）判断在上的单调性,并用定义证明;

（3）解不等式.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）或

【解析】

（1）将代入已知等式，利用函数，的奇偶性，得出关于与的另一个方程，联立两个方程，即可得出的解析式；

（2）利用单调性的定义证明即可；

（3）结合函数的单调性以及奇偶性解不等式即可.

（1）令取，代入中，得

因为函数是偶函数,是奇函数

所以

故有，解得

所以

（2）设，

因为，所以，即

所以函数在上单调递增

（3）因为为偶函数，所以，并且

则

由（2）知，函数在上单调递增，则

解得或

所以不等式的解集为或