Question

设，函数，，.

（Ⅰ）若为偶函数，求的值；

（Ⅱ）当时，若，在上均单调递增，求的取值范围；

（Ⅲ）设，若对任意，都有，求的最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）-15

【解析】

（Ⅰ）根据偶函数得到，计算得到答案.

（Ⅱ）根据函数单调性得到，解得答案.

（Ⅲ）等价代换得到，且恒成立，解得，在计算最值得到答案.

（Ⅰ）若为偶函数，则对任意，都有，

即，亦即，则；

（Ⅱ）在上单调递减，在上单调递增

故，其中，则；

（Ⅲ）对任意，恒成立等价于对任意，恒成立，且恒成立，

即恒成立，且恒成立.

分别令函数，，

注意到，故对任意，与恒成立的充要条件是即，亦即，

因，故，因此.

从而，即，

当且仅当，时，等号成立，所以最大值是-15.