Question

已知函数的定义域为，且满足下列条件：

（）．（）对于任意的，，总有．

（）对于任意的，，，．则

（Ⅰ）求及的值．

（Ⅱ）求证：函数为奇函数．

（Ⅲ）若，求实数的取值范围．

Answer

（1）； （2）见解析； （3）.

【解析】

（Ⅰ）由题意，对于任意，都有，∴令，即可求解的值；

（Ⅱ）令，得，再令 ，则，进而得到 ，即可得到结论.

（Ⅲ）∵对于任意的，可得为单调增函数，利用单调性把不等式转化为，得∴，即可求解.

（Ⅰ）∵对于任意，都有，

∴令，得 ，∴．

令，则，∴．

（Ⅱ）令，则有，∴，

令 ，则，

∴ ，即： ．

故为奇函数．

（Ⅲ）∵对于任意的，∴为单调增函数，

∵

则

且 ，∴，∴，

∴，即： ，解得或 ．

故实数的取值范围是 ．