Question

已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.

（1）求的方程；

（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设，由已知，求得的坐标为，代入椭圆方程，得；再由，求得，结合，求出值，即可求得结论；

（2）先讨论直线斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出；

再将直线方程与椭圆联立，求出，由求出的值，进而求出，再求出点到直线的距离，即可求解.

（1）设椭圆的焦距为，∵，

∴的坐标为.∵在上，

将代人，得.

又∵，∴，

∴.又∵，

∴，，的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意；

当直线的斜率为0时，，，也不符合题意.

∴可设直线的方程为,

联立得，

则，.

.

由得或

∴.

又∵，∴，∴，

∴.∵到直线的距离，

∴.