Question

已知，.

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)当时，若关于的方程存在两个正实数根，证明:且.

Answer

(1);(2)见解析

【解析】

（1）求出函数的导函数，再计算出，，即可求出切线方程；

（2）由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根.令利用导数研究其单调性、最值，因为有两个零点，即，得.

因为实数，是的两个根，所以，从而.令，，则，变形整理得.要证，则只需证，即只要证，

再构造函数即可证明.

(1)解:∵，

∴，，

∴曲线在点处的切线方程为.

(2)证明:由存在两个正实数根，

整理得方程存在两个正实数根.

由，知，

令，则，

当时，，在上单调递增;

当时，，在上单调递减.

所以.

因为有两个零点，即，得.

因为实数，是的两个根，

所以，从而.

令，，则，变形整理得.

要证，则只需证，即只要证，

结合对数函数的图象可知，只需要证，两点连线的斜率要比，两点连线的斜率小即可.

因为，所以只要证，整理得.

令，则，

所以在上单调递减，即，

所以成立，故成立.