设函数，（）. （1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数...

设函数，（）.

（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）

（Ⅰ）或（Ⅱ）当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（III）的最小值为. 【解析】试题（Ⅰ）代入化简方程得，由二次方程解得或，再根据指对数关系得或.（Ⅱ）先求函数导数并明确函数定义域：，；再讨论导函数不变号情况：当时，，的增区间为；最后讨论导函数变号时符号变化规律：当时，由，解得；当时，由，解得.（III）存在性问题，一般转化为对应函数最值问题：，利用导数先求函数最小值：本题难点是最小值点不能解出，只能得到其所在区间，为使值能确定最小值，需精确考虑最小值点所在区间，如细化到试题解析：【解析】（1）当时，方程即为，去分母，得，解得或，故所求方程的根为或. （2）因为，所以（）， ①当时，由，解得； ②当时，由，解得； ③当时，由，解得； ④当时，由，解得； ⑤当时，由，解得. 综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为. （3）方法一：当时，，，所以单调递增，，，所以存在唯一，使得，即，当时，，当时，，所以，记函数，则在上单调递增，所以，即，由，且为整数，得，所以存在整数满足题意，且的最小值为. 方法二：当时，，所以，由得，当时，不等式有解，下证：当时，恒成立，即证恒成立. 显然当时，不等式恒成立，只需证明当时，恒成立. 即证明.令，所以，由，得，当，；当，；所以. 所以当时，恒成立. 综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为.

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考点分析：

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