Question

已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示.

（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；

（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）1；（2）.

【解析】

（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面体A﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．

(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，

所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.

由于AB=1, AD=BC= ,AC=,

由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,

所以12＋a2＝()2⇒a＝1,

所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1

(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，

所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.

过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，

以O为原点建立空间直角坐标系 (如图)，

则易知,

显然，面BCD的法向量为 ,

设面ACD的法向量为＝(x，y，z),

因为

所以，令y＝，得＝(1，，2)，

故二面角A－CD－B的余弦值即为.