Question

已知圆:和定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线交于点,设动点的轨迹为.

(1)求的方程;

(2)过点作直线与曲线相交于,两点(,不在轴上),试问:在轴上是否存在定点,总有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在,定点

【解析】

（1）由题可得圆心为,由可推出的轨迹是以、为焦点的椭圆,进而求出椭圆方程即可；

（2）设存在点满足题意,当不存在时显然成立,当存在时,设直线为,联立直线方程和椭圆方程,可得,利用韦达定理得到的关系,由可知,利用斜率公式整理求解即可

（1）由题,圆心为,半径,

由垂直平分线的性质可知,所以,

所以由椭圆定义可知轨迹是以、为焦点的椭圆,

所以,即,

因为,所以,

所以轨迹方程为:

（2）存在,

设存在点满足题意,

当不存在时,由椭圆的对称性,轴上的点均符合题意；

当存在时,设直线为,

联立,消去得,

设,,

则,,

因为,则,

所以,即,

所以,

则,

所以,即,

所以当时,无论为何值,都满足题意,

所以存在定点,总有