Question

已知以点为圆心的圆与直线：交于、两点，.

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）平面内一动点满足是直角三角形，且，求点的轨迹方程.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）且）

【解析】

（Ⅰ）先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求出圆的半径，从而可得圆的标准方程；

（Ⅱ）转化为求以为直径的圆（除去两点）的方程，求出的中点坐标后即可得到结果.

（Ⅰ）因为点到直线：的距离，

所以圆的半径为，

所以圆的标准方程为.

（Ⅱ）取的中点为如图：

则，所以，

所以直线，即，

联立 解得，即，

因为，所以点的轨迹是以为直径的圆（除去两点），

所以所求轨迹方程为：且）