Question

已知点为圆上一点，轴于点，轴于点，点满足（为坐标原点），点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）斜率为的直线交曲线于不同的两点、，是否存在定点，使得直线、的斜率之和恒为0.若存在，则求出点的坐标；若不存在，则请说明理由.

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）存在， 或

【解析】

（Ⅰ）设，,由将用表示，然后将代入，化简即可得到结果；

（Ⅱ）假设存在定点满足题意，设，，斜率为的直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和斜率和为0恒成立，可得结果.

（Ⅰ）设，，

则，，

由得，

所以，所以，

又在圆上，

所以，即.

（Ⅱ）假设存在定点满足题意，设，，斜率为的直线的方程为，

则，得，，

所以，解得

又，，

因为，

所以，

则，

则，

则，

则，

则，

所以对任意的恒成立，

所以，解得或，

所以存在定点或，使得、的斜率之和恒为0.