Question

如图，在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，.

（1）求证：；

（2）点是棱的中点，点P在底面内的射影为点，证明：平面；

（3）求直线和平面所成角的大小.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）取中点，连结，，由已知得，，由此能证明平面，从而证明．

（2）可得为等边三角形，由，可得为的中点，即，从而得到平面；

（3）由（1）得平面平面，可得PB在平面面内的摄影为，由（2）得为等边三角形，即可得直线和平面所成角的大小．

（1）取中点，连结，，

是边长为的正三角形，．

，，，平面，

平面，且平面，

.

（2），得，

又，

为等边三角形．

，为的中点，

又点是棱的中点，．

且平面，平面．

平面.

（3）由（1）知平面，而平面，

所以平面平面，

所以在平面内的射影为，

所以为直线和平面所成的角，

由（2）得为等边三角形，

所以.

所以直线和平面所成角的大小为.