Question

如图，在四棱锥中，底面是一个直角梯形，其中，，平面，，，点M和点N分别为和的中点.

（1）证明：直线平面；

（2）求直线和平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的正弦值；

（4）求点P到平面的距离；

（5）设点N在平面内的射影为点H，求线段的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）；（5）

【解析】

（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证明与平面的法向量垂直，从而证明直线平面．

（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直线和平面所成角的余弦值．

（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值．

（4）求出的坐标，再求出平面的法向量，利用向量法，求出点到平面的距离；

（5）设点在平面内的射影为点，从而表示出的坐标，求出到平面的距离，列出方程组，求出点坐标，从而求出的长度.

（1）四棱锥，底面是一个直角梯形，，平面，

所以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，

，，，

设平面的法向量，

所以，，

取，则，

所以，平面，

所以直线平面.

（2），，，

设平面的法向量，

则，即，

取，则，

设直线与平面所成的角为，

则，

所以，

所以直线与平面所成角的余弦值为.

（3）设平面的法向量为，

则，即，

取，得，

平面的法向量，

设二面角的平面角为，

则，

所以，

所以二面角的正弦值为.

（4），平面的法向量，

所以点到平面的距离为

.

（5）设点在平面的射影为点，

则，

所以点到平面的距离为，

根据，得

解得，，，或者，，（舍）

所以.