Question

如图，已知三棱台中，，M是的中点，N在线段上，且，过点的平面把这个棱台分为两部分，求体积较小部分与体积较大部分的体积比值.

Answer

【解析】

不妨设平面⊥平面，设是边长为的等边三角形，则是边长为的等边三角形，设棱台的高为，取中点，中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，先求出三棱台的体积，过点，，的平面把这个棱台分为两部分，体积较小部分的体积为：，体积较大部分的体积为：，由此能求出体积较小部分与体积较大部分的体积比值.

三棱台，，是的中点，在线段上，且不妨设平面⊥平面，

设是边长为的等边三角形，则是边长为的等边三角形，

设棱台的高为，取中点，中点，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

，，

三棱台的体积，

，

所以，

，，，，

，，，

设平面的法向量，

所以，即，

取，得，

所以点到平面的距离，

，

所以，

所以

所以，

设平面与交于点，则点到直线的距离是点到直线距离的，

所以，

所以，

所以过点的平面把这个棱台分为两部分，

体积较小部分的体积为：

，

体积较大部分的体积为：

，

所以体积较小部分与体积较大部分的体积比值为.