Question

如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.

（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面

（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由题意，先求得为的中点，再证明平面平面，进而可得结论；

（2）由题意，当点位于点时，四面体的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.

（1）证明：当四面体的外接球的表面积为时.

则其外接球的半径为.

因为时边长为2的菱形，是矩形.

，且平面平面.

则，.

则为四面体外接球的直径.

所以，即.

由题意，，，所以.

因为，所以为的中点.

记的中点为，连接，.

则，，，所以平面平面.

因为平面，所以平面.

（2）由题意，平面，则三棱锥的高不变.

当四面体的体积最大时，的面积最大.

所以当点位于点时，四面体的体积最大.

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，.

所以，，，.

设平面的法向量为.

则

令，得.

设平面的一个法向量为.

则

令，得.

设平面与平面所成锐二面角是，则.

所以当四面体的体积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.