Question

已知函数，.

（1）若不等式对恒成立，求的最小值；

（2）证明：.

（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）由题意可得，，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；

（2）不等式转化为，令，，利用导数得单调性即可得到答案；

（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.

（1），即，化简可得.

令，，因为，所以，.

所以，在上单调递减，.

所以的最小值为.

（2）要证，即.

两边同除以可得.

设，则.

在上，，所以在上单调递减.

在上，，所以在上单调递增，所以.

设，因为在上是减函数，所以.

所以，即.

（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证

，由可知，即要证.

当时，，，因而在上单调递增.

当时，，，因而在上单调递减.

因为，所以，要证.

即要证.

记，.

因为，所以，则.

.

设，，当时，.

时，，故.

且，故，因为，所以.

因此，即在上单调递增.

所以，即.

故得证.