Question

已知函数(为常数，).给你四个函数：①；②；③；④.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）求函数的最小值；

（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为，满足条件：存在实数a，使得关于x的不等式的解集为，其中常数s，，且.对选择的和任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）令，则的解为或，由后者可得的解.

（2）令，则，分类讨论后可求，的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.

（3）取，可以证明满足条件，再利用换元法考虑任意，不等式恒成立可得实数的取值范围.

（1）当时，.

令，因为的解为或，

所以（舍）或，故，

所以的解集为.

（2）令，则，

函数的最小值即为，的最小值.

当即时， .

当即时，；

当即时， .

故.

（3）取，

令，设的解集为闭区间，

由得，故的解集为，

取，则，故满足条件.

当时，，故在上恒成立，

故，解得，

所以实数的取值范围是.