Question

已知函数.

（1）证明函数在上为减函数；

（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；

（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.

【解析】

（1）利用单调性定义证明即可.

（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据奇偶性定义可判断函数的奇偶性.

（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的取值范围.

（1），，，

又，

因为，，，故，，，

故即，所以函数在上为减函数.

（2）的满足的不等关系有：即，

故，解得，

故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称.

令

又

，

故为奇函数.

（3）令，因为，故.

故在上不等式能成立即为

存在，使得，所以在上能成立，

令，则且，

由基本不等式有，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

故的最大值为，所以a的取值范围为.