Question

已知定义域为的函数是奇函数

（1）求实数的值（2）判断并证明在上的单调性

（3）若对任意实数,不等式恒成立,求的取值范围

Answer

（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）由是上的奇函数，得，且，代入可得的值；（2）由的解析式，用单调性定义可以证明是定义域上的减函数；（3）对任意实数，不等式恒成立，结合奇函数可得对恒成立，即可求得的取值范围.

（1）由于定义域为的函数是奇函数,

∴

∴经检验成立

（2）在上是减函数.

证明如下:设任意

∵∴

∴在上是减函数 ,

（3）不等式,

由奇函数得到所以,

由在上是减函数,∴对恒成立

∴或

综上:.