Question

如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点是的中点，点在底面上的射影为点，点在棱上，且四棱锥的体积为.

（1）若点是的中点，求证:平面平面；

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）求证见解析（2）

【解析】

（1）是棱锥的高，由体积计算出高后计算出侧棱长，得侧面是等边三角形，可证平面，再得面面垂直；

（2）分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，直线的方向向量，由向量法来求空间角．

（1）依题意，平面，又是边长为的正方形，且四棱锥的体积为，

所以，所以，，

又，点是的中点，所以，同理，，又，

所以平面，又平面，所以平面平面.

（2）连接，易得，，互相垂直，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，

因为为棱上一点，设，所，

设平面的法向量，则由得令，则，所以，又平面的法向量为，

所以，解得，所以，

又，所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.