Question

已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）记表示中的最小值，设，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）单减区间为和，单增区间为.（2）

【解析】

（1）求出，由得，，讨论两根大小，得出的正负，从而确定单调区间；

（2）只有唯一零点2，因此在上至少有两个零点才能满足题意，根据（1）中得出的单调性，分类讨论的极值与零点可得．

（1）的定义域为，

∴，令，得.

①当，即时，；

②当，即时，；

③当，即时，，

综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；当时，的单减区间为，无增区间；当时，的单减区间为和，单增区间为.

（2）的唯一一个零点是，∴，由（1）可得: (i)当时，，此时至多有两个零点，不符合题意；（ii）当时，在定义域上单减递减，此时至多有两个零点，不符合题意； (ⅲ)当时，若，即，此时至多有两个零点，不符合题意；若，即，此时，即，此时恰好有三个零点，符合题意；若，即，此时， ，记，所以，所以在上单调递增，所以，此时恰好有四个零点，符合题意，综上，.