Question

已知，当时，.

（Ⅰ）若函数过点，求此时函数的解析式；

（Ⅱ）若函数只有一个零点，求实数的值；

（Ⅲ）设，若对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）

【解析】

试题（Ⅰ）将点 代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即 ，根据对数运算后可得 ，将问题转化为方程有一个实根，分 和 两种情况，得到 值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值 整理为 ，对任意 恒成立， 时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解 的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）函数过点，

， ，

此时函数

（Ⅱ）由得，

化为，

当时，可得，

经过验证满足函数只有一个零点；

当时，令解得，可得，

经过验证满足函数只有一个零点，

综上可得：或.

（Ⅲ）任取且，则，

，即，

在上单调递减.

函数在区间上的最大值与最小值分别为，

，

整理得对任意恒成立，

令，

函数在区间上单调递增，

，即，解得，

故实数的取值范围为.