Question

已知函数 .

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的单调性．

Answer

（1）f（x）的极小值为4，无极大值．（2）当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．

【解析】

(1)当时，求出函数的导数，由求方程的根，判断所求根两边导函数的符号即可得到函数的极值；(2) 求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.

.

（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），

当a=2时，， ，

令f′（x）=0，解得x= ，

当0＜x＜时，f′（x）＜0；

当x≥时，f′（x）＞0

又∵f（）=2+2=4

∴f（x）的极小值为4，无极大值．

（2）

当a＜﹣2时，﹣＜，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，

令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；

当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，

令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣ ；

当a=﹣2时，，

综上所述，当a＜﹣2时f（x）的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；

当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；

当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．