Question

已知直线半径为的圆与直线相切,圆心在轴上且在直线的上方.

（1）求圆的方程;

（2）设过点 的直线被圆截得弦长等于,求直线的方程;

（3）过点的直线与圆交于两点（在轴上方）,问在轴正半轴上是否存在点,使得轴平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer

（1）;（2）或;（3）当点,能使得总成立.

【解析】

（1）设出圆心坐标根据直线与圆相切,得到圆心到直线的距离,确定出圆心坐标,即可得出圆方程;

（2）根据垂径定理及勾股定理,由过点的直线被圆截得的弦长等于,分直线斜率存在与不存在两种情况求出直线的方程即可;

（3）当直线轴则轴平分,当直线斜率存在时,设直线方程为,联立圆与直线方程消去得到关于的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,由若轴平分,则,求出的值,确定出此时坐标即可.

解:（1）设圆心,

因为直线,半径为的圆与相切,

,即,解得或（舍去）,

则圆方程为: .

（2）由题意可知圆心到直线的距离为

若直线斜率不存在,则直线,圆心到直线的距离为1;

若直线斜率存在,设直线,即,

则有 ,即,此时直线,

综上直线的方程为或;

（3）当直线轴,则轴平分,若轴平分,

则,即,

整理得:,

即,

解得:,

当点,能使得总成立.