Question

已知函数.

（Ⅰ）若在上单调递减，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，函数有两个极值点，

证明：．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

试题（1）第（1）问，由题得在上恒成立，再转化成,求出a的范围.（2）第（2）问，由题得有两个不同的零点,且均为正，再构造函数，通过导数研究函数的两个零点的关系，证明.

试题解析：

（1）因为,由题意可知在上恒成立

得，

令,，

解得在单调递增，单调递减, 所以,

所以.

(2)函数有两个极值点,

即有两个不同的零点,且均为正，

令,由可知

在是增函数，在是减函数， 且，构造，

构造函数，

则,故在区间上单调减，

又由于,则,即有在上恒成立，

即有成立.

由于,, 在是减函数, 所以，

所以成立.