Question

已知.

（1）求；

（2）设，求证：在内有且只有一个零点；

（3）求证：当时，.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用平方差公式和二倍角余弦公式可得出，求导，将代入导函数的解析式，可得出关于的方程，即可解出的值；

（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理可证明出结论成立；

（3）分析出函数在区间上为增函数，由可证明出不等式成立.

（1），

，，解得；

（2），，，，

，，函数在上单调递增.

，，

所以，使得，列表如下：

极小值

，，使，

当时，函数单调递增，此时，.

因此，函数在内有且只有一个零点；

（3）由于函数在上单调递增，则当时，，

所以，函数在单调递增.

，函数在上单调递增，

当时，.