Question

设函数，其中为实数.

（1）当时，求在区间上的最小值；

（2）求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用导数分析函数在区间上的单调性，由此可求出函数区间上的最小值；

（2）取，由（1）可知对任意的恒成立，由得出，再令即可得出所证不等式成立.

（1）函数，，

则，

当时，，又，，

那么函数在上单调递增，，即，

所以函数在上单调递增，,

故得当时，函数在区间上的最小值为；

（2）根据（1）可知：当时，对任意的恒成立，

此时，取，

则对任意正整数都有，

即，可得恒成立，令得.