Question

已知F为抛物线的焦点，点为抛物线C内一定点，点P为抛物线C上一动点，且的最小值为8.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线与抛物线C交于、两点，求BD的长.

Answer

（1）；（2）

【解析】

(1)根据抛物线的定义可知分析取得最小值时的情况列出关于的方程求解即可.

(2)联立直线与抛物线C,求出对应的二次方程的韦达定理,进而利用弦长公式求解即可.

【解析】
（1）设d为点P到的距离,则由抛物线定义知,

∴当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时,取得最小值,

即,解得,

∴抛物线C的方程为.

（2）联立,得,

显然,,,

∴,

∴