Question

如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，点在轴负半轴上，满足是的中点，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若的外接圆恰好与直线相切，求椭圆的方程.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据是的中点，可知长度，结合勾股定理，以及的关系且的表示，可得结果.

（2）根据（1）的条件可知的外接圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，可得，进一步得到，最后可得结果.

【解析】
（1）为的中点，，

在中，，

即，又，，

故椭圆的离心率.

（2）由（1）知，得，

，，

的外接圆的圆心为，半径，

的外接圆恰好与直线相切，

，解得，，，

∴椭圆的方程为.